Chapter 2
Exponents and Radicals
2.1 Exponents
Exponents are mathematical shorthand that tells us to multliply the same number by itself for a specific number of times.
In this chapter, you will learn about positive integral exponent,zero exponent, negative integral exponents, rational exponents, radicals and exponential equations.
ထပ်ညွှန်းများသည်တိကျအရေအတွက်ရှိသည့်ကိန်းတစ်ခု၏မြှောက်လဒ်ကိုဖော်ပြသောသင်္ချာအတိုကောက်ဖြစ်သည်။ဤသင်ခန်းစာတွင်အပေါင်းကိန်းပြည့်ထပ်ညွှန်းများ၊သုညထပ်ညွှန်း၊အနုတ်ကိန်းပြည့်ထပ်ညွှန်းများ၊ရာရှင်နယ်(အပိုင်းကိန်း)ထပ်ညွှန်းများ၊ radicals (root ဖြင့်ဖော်ပြသောကိန်းများ)နှင့်ထပ်ညွှန်းညီမျှခြင်းများကိုလေ့လာကြမည်။
2.1.1 Positive Integral Exponents
In general, if $a$ is any real number and $n$ is a positive integer, then the $n^{th}$ power of $a$ is
$\underbrace{a \times a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text { factors }}=a^{n}$
where the number $a$ is called the base and $n$ is called the exponent or index.
$a$ သည်ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး $n$ သည်အပေါင်းကိန်းပြည့်တစ်ခုဖြစ်လျှင် $n^{th}$power of $a$ ဆိုသည်မှာ $a$ ကို $n$ အကြိမ်မြှောက်ထားခြင်းဖြစ်သည်ဟုဆိုလိုသည်။
$a$ ကို base (အခြေ)ဟုခေါ်သည်။ $n$ ကို exponent (သို့မဟုတ်)၊ index (ထပ်ညွှန်း)ဟုခေါ်သည်။
မြှောက်လဒ်တစ်ခုရေးသားဖော်ပြရာတွင်အမြှောက်သင်္ကေတ cross($\times$) အစား raised dot($\cdot$) ကိုလည်းအသုံးပြုလေ့ရှိသည်။
$3\times 3=3 \cdot 3=3^{2}$
$5\times 5\times 5=5 \cdot 5 \cdot 5=5^{3}$
$a \times a \times a \times a=a \cdot a \cdot a \cdot a=a^{4}$
2.1.2 Zero and Negative Integral Exponents
Definition: For any real number $x$, if $x\neq0$, then $x^{0}=1$.
For example,
$\begin{aligned}
3^{0}=1 \\\\
(-4)^{0}=1
\end{aligned}$
Note that $0^{0}$ is indeterminate.
Definition: For any real number $x$, if $x\neq0$, then $x^{n}=\dfrac{1}{x^{n}}$.
For example,
$\begin{aligned}
5^{-2}&=\dfrac{1}{5^{2}}=\dfrac{1}{25} \\\\
\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-4}&=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3^{4}}}=3^{4}
\end{aligned}$
Consequently, $\dfrac{1}{x^{-n}}=x^{n}$.
Example 1
Evluate the following.
(i) $\dfrac{3^{-3}}{4^{-3}}$ (ii) $5^{0}-5x^{0}-(5x)^{-1}-(5x)^{0}$
2.1.3 Rules for Integral Exponents
$x$ နှင့် $y$ တို့သည်ကိန်းစစ်များဖြစ်ပြီး $m$ နှင့် $n$ တို့သည်အပေါင်းကိန်းပြည့်များဖြစ်သည်ဟုယူဆလျှင်
Rule 1 (Multiplication)
$x^{m} \cdot x^{n}=x^{m+n}$
For example,
$\begin{aligned}
3^{3} \cdot 3^{5}&=3^{3+5}=3^{8} \\\\
x^{2} \cdot x^{6}&=3^{2+6}=x^{8}
\end{aligned}$
Rule 2 (Division)
$x^{m} \div x^{n}=\dfrac{x^{m}}{x^{n}}$= $\begin{cases}
x^{m-n}, & \text { if } m>n \\\\
1, & \text { if } m=n \\\\
\dfrac{1}{x^{n-m},} & \text { if } m < n, x \neq 0
\end{cases}$
For example,
$\begin{aligned}
3^{5} \div 3^{2}&=3^{5-2}=3^{3} \\\\
a^{3} \div a^{8}&=\dfrac{a^{3}}{a^{8}}=\dfrac{1}{a^{8-3}}=\dfrac{1}{a^{5}} \\\\
a^{4} \div a^{4}&=a^{4-4}=a^{0}=1
\end{aligned}$
Rule 3 (Power of a Power)
$\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m n}$
For example,
$\begin{aligned}
\left(2^{3}\right)^{4}&=2^{3 \times 4}=2^{12} \\\\
\left(x^{4}\right)^{2}&=x^{4 \times 2}=x^{8}
\end{aligned}$
Rule 4 (Power of a Product)
$(x y)^{n}=x^{n} \cdot y^{n}$
For example,
$\begin{aligned}
(2 \cdot 3)^{4}&=2^{4} \cdot 3^{4} \\\\
(x y)^{5}&=x^{5} \cdot y^{5}
\end{aligned}$
Rule 5 (Power of a Quotient)
$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{n}=\dfrac{x^{n}}{y^{n}}, y \neq 0$
For example,
$\begin{aligned}
\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}&=\dfrac{3^{2}}{5^{2}} \\\\
\left(\dfrac{x}{y}\right)^{3}&=\dfrac{x^{3}}{y^{3}}, y \neq 0
\end{aligned}$
Example 2
Simplify and name the rules used.
(i) $x^{7}.x^{4}$ (ii) $a^{15}÷a^{7}$ (iii) $(b^{2})^{3}$
(iv) $a^{5}.b^{5}$ (v) $\dfrac{y^{7}}{4^{7}}$
Example 3
Simplify and name the rules used.
(i) $\left(\dfrac{-81x^{3}y^{4}}{27xy^{3}}\right)^{3}$ (ii) $(a^{-1}b^{-3})^{-2}$
Example 4
Evaluate $\left(\dfrac{16.27}{25}\right)^{2}\left(\dfrac{50}{36}\right)^{3}$.
Example 5
Evaluate $\dfrac{(x^{2}-y^{2})^{3}}{(x+y)^{3}}$.
2.1.4 Rational Exponents
ဤအပိုင်းတွင်ကိန်းတစ်ခု၏ကိန်းရင်းနှင့်ရာရှင်နယ်ထပ်ညွှန်းများအကြောင်းလေ့လာကြမည်။
Definition: If $n$ is a positive integer and $x$ and $y$ are real numbers, such that $x^{n}=y$, then $x$ is called the $n^{th}$ root of $y$.
$n$သည်အပေါင်းကိန်းပြည့်တစ်ခုဖြစ်၍ $x$ နှင့် $y$ တို့သည် $x^{n}=y$ ဖြစ်စေမည့်ကိန်းစစ်များဖြစ်ကြလျှင် $x$ ကို $y$ ၏ $n$ ထပ်ကိန်းရင်း $n^{th}$ root of $y$ ဟုခေါ်၏။
For example,
(i) $2^{3}=8$
2 is the cube root of 8.
$2$သည် $8$ ၏သုံးထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။
(ii) $(-2)^{3}=-8$
$-2$ is the cube root of $-8$.
$-2$ သည် $-8$ ၏သုံးထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။
(iii) $(-3)^{4}=81$
$-3$ is the fourth root of 81.
$-3$ သည် $81$ ၏လေးထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။
(iv) $3^{4}=81$
3 is the fourth root of 81.
$3$ သည် $81$ ၏လေးထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။
In general, for $x^{n}$, if $n$ is odd, there is only one real $n^{th}$ root of $y$, no matter whether $y$ is negative or zero or positive.
In this case, the real $n^{th}$ root of $y$ is denoted by $\sqrt[n]{y}$ is called the principal $n^{th}$ root of $y$.
ယေဘုယျအားဖြင့် $n$ သည်အပေါင်း"မ"ကိန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး $x^{n}=y$ ဖြစ်လျှင် $y$ ၏ကိန်းစစ်ဖြစ်သည့် $n$ ထပ်ကိန်းရင်းသည်တစ်ခုသာရှိသည်။
$n^{th}$ root of $y$ ကို $\sqrt[n]{y}$ ဟုမှတ်သားပြီး the principal $n^{th}$ root of $y$ ဟုဖတ်သည်။
By (i) and (ii), $3$ is the cube root of $8$ and $-8$ and the principal third root of $8$ and $-8$, we write
$\begin{aligned}
\sqrt[3]{8}&=2 \text{ (and) }\\\\
\sqrt[3]{-8}&=-2
\end{aligned}$
If $n$ is even and $y$ is positive, there are two real $n^{th}$ roots of $y$, one positive and other negative.
In that case, the positive $n^{th}$ root of $y$ is denoted by $\sqrt[n]{y}$ is called the principal $n^{th}$ root of $y$.
ယေဘုယျအားဖြင့် $n$ သည်အပေါင်း"စုံ"ကိန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး $y>0$ နှင့် $x^{n}=y$ ဖြစ်လျှင် $y$ တွင်ကိန်းစစ်ဖြစ်သည့် $n$ ထပ်ကိန်းရင်းနှစ်ခုရှိ၏။တစ်ခုသည်အပေါင်းဖြစ်ပြီးကျန်တစ်ခုသည်အနုတ်ဖြစ်၏။
$y$ ၏အပေါင်းဖြစ်သည့် $n$ ထပ်ကိန်းရင်းကို $\sqrt[n]{y}$ ဖြင့်မှတ်သားပြီး $n^{th}$ root of $y$ ဟုဖတ်သည်။
By (iii) and (iv), $3$ and $-3$ are fourth roots of $81$ and the principal fourth root of $81$, $\sqrt[4]{81}=3$
2.1.4 Rational Exponents
Notice the following:
(i) $x^{2}=-4$ has no real number $x$ because the square of any nonzero real number is positive.
သုညမဟုတ်သောကိန်းစစ်တိုင်း၏နှစ်ထပ်ကိန်းများတန်ဖိုးသည်အပေါင်းကိန်းဖြစ်သောကြောင့် $x^{2}=-4$ ကိုပြေလည်စေသောကိန်းစစ် $x$ မရှိပါ။
(ii) It is important to understand the difference between $\sqrt[n]{-b}$ and $-\sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[n]{-b}$ is the principal $n^{th}$ root of $(-b)$ and $-\sqrt[n]{b}$ is the negative principal $n^{th}$ root of $b$.
(iii) $\sqrt{x^{2}}= \begin{cases}
x & \text { if } x \text { is positive or zero, } \\\\
-x & \text { if } x \text { is negative }
\end{cases}$
For example,
(i) $\sqrt{9}=\sqrt{3^{2}}=3$
(ii) $\sqrt{9}=\sqrt{(-3)^{2}}=-(-3)=3$
Definition: For a real number $x$ and an integer $n(n ≥2)$,
$x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$, when $n$ is even, $x$ must be positive or zero.
ကိန်းစစ် $x$ နှင့် $n ≥2$ ဖြစ်သောကိန်းပြည့် $n$ အတွက် $x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$ ဟုသတ်မှတ်သည်။
$n$ သည်စုံကိန်းတစ်ခုဖြစ်လျှင် $x$ သည်အပေါင်းကိန်း (သို့မဟုတ်)၊သုညဖြစ်ရမည်။
Definition: If $m$ and $n$ are positive integers and $\dfrac{m}{n}$ is a rational number in lowest terms, then for any real number $x$,
$x^{\frac{m}{n}}= \sqrt[n]{x^{m}}=(\sqrt[n]{x})^{m}$,
where $n$ is even, $x$ must be positive or zero.
$m$ နှင့် $n$ တို့သည်အပေါင်းကိန်းများဖြစ်ပြီး $\dfrac{m}{n}$ သည်အနိမ့်ဆုံးကျဉ်းပိုင်းရှိသောရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခုဖြစ်လျှင် $x^{\frac{m}{n}}= \sqrt[n]{x^{m}}=(\sqrt[n]{x})^{m}$ ဟုသတ်မှတ်၏။
$n$ သည်စုံကိန်းတစ်ခုဖြစ်လျှင် $x$ သည်အပေါင်းကိန်း(သို့မဟုတ်)၊သုညဖြစ်ရမည်။
For example,
$(-8)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-8)^{2}}=\sqrt[6]{64}=2$
It is false because the exponent $\dfrac{2}{6}$ is not a lowest terms.
$(-8)^{\frac{2}{6}}=(-8)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{(-8)}=-2$ (True)
Definition: If $m$ and $n$ are any positive integers, then for any real number $x\neq0$, $x^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{x^{\frac{m}{n}}}$.
$m$ နှင့် $n$ တို့သည်အပေါင်းကိန်းများဖြစ်ပြီး $x$ သည်သုညမဟုတ်သောကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်လျှင် $x^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{x^{\frac{m}{n}}}$ ဟုသတ်မှတ်သည်။
For example,
(i) $8^{-\frac{2}{3}}=\dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}}=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{8})^{2}}=\dfrac{1}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}$
(ii) $32^{-\frac{7}{5}}=\dfrac{1}{32^{\frac{7}{5}}}=\dfrac{1}{(\sqrt[5]{32})^{7}}=\dfrac{1}{2^{2}}=\dfrac{1}{128}$
Integral exponents အတွက်ဉပဒေသများသည် rational exponents အတွက်လည်းမှန်ပေသည်။
$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$
$\begin{aligned}
x-y&=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}-\left(y^{\frac{1}{2}}\right)^{2}\\\\
&=\left(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}\right)
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}&=\left(x^{\frac{1}{4}}\right)^{2}-\left(y^{\frac{1}{4}}\right)^{2}\\\\
&=\left(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{4}}-y^{\frac{1}{4}}\right)
\end{aligned}$
$x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)$
$\begin{aligned}
x-y&=\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}-\left(y^{\frac{1}{3}}\right)^{3}\\\\
&=\left(x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}\right)
\end{aligned}$
$x^{3}+y^{3}=(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)$
$\begin{aligned}
x+y&=\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{3}+\left(y^{\frac{1}{3}}\right)^{3}\\\\
&=\left(x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{2}{3}}\right)
\end{aligned}$
Example 6
Simplify
(a) $16^{\frac{1}{2}}$ (b) $8^{\frac{1}{2}}$ (c) $(-27)^{\frac{1}{3}}$
Example 7
Simplify and express the answer with positive exponents $\left(\dfrac{2^{m}\sqrt{2^{-m}}}{\sqrt{2^{m+1}}}\right)^{-2m}$.
Example 8
Simplify $\dfrac{x-y^{-1}}{(x^{\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{4}}-y^{-\frac{1}{4}})}$.
2.2 Radicals
Definition: The symbol $\sqrt[n]{b}$ is called a radical, $\sqrt[n]{}$ is the radical sign, $n$ is the order or index, and $b$ is called the radicand.
$\sqrt[n]{b}$ ကို radical expression ဟုခေါ်သည်။
$\sqrt[n]{}$ ကို radical sign ဟုခေါ်သည်။ $b$ ကို radicand သို့မဟုတ် base ဟုခေါ်သည်။
$\sqrt{5}$,$\sqrt[3]{27}$,$\sqrt[5]{6}$ စသည်တို့သည် radical expression များဖြစ်ကြသည်။
2.2.1 Rules for Radicals
Rule 1
$(\sqrt[n]{x})^{n}=\sqrt[n]{x^{n}}=x$
For example,
$(\sqrt[3]{5})^{3}=5$
$\sqrt[4]{b^{4}}=b$
Reule 2
$\sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{x y}$
For example,
$\begin{aligned}
\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{20} &=\sqrt[3]{5 \cdot 20}=\sqrt[3]{100} \\\\
\sqrt[4]{x^{2}} \sqrt[4]{y} &=\sqrt[4]{x^{2} y}
\end{aligned}$
Rule 3
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[m n]{x}$
For example,
$\sqrt{\sqrt[3]{5}}=\sqrt[6]{5}$
$\sqrt[3]{\sqrt[4]{x^{5}}}=\sqrt[12]{x^{5}}$
Rule 4
$\sqrt[n]{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}, y \neq 0$
For example,
$\begin{aligned}
\sqrt[3]{\dfrac{5}{9}} &=\dfrac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{9}} \\\\
\sqrt[4]{\dfrac{x^{5}}{y^{3}}} &=\dfrac{\sqrt[4]{x^{5}}}{\sqrt[4]{y^{3}}}
\end{aligned}$
Rule 5
(a) $\sqrt[n]{x^{m}}=\sqrt[k n]{x^{k m}}$
(b) $\sqrt[n]{x^{m}}=\sqrt[\frac{n}{k}] {x^{\frac{m}{k}}},k\neq0$
For example,
$\begin{aligned}
\sqrt[3]{5}&=\sqrt[3 \times 2]{5^{2}}=\sqrt[6]{5^{2}} \\\\
\sqrt[5]{b^{3}}&=\sqrt[5 \times 3]{b^{3 \times 3}}=\sqrt[15]{b^{9}} \\\\
\sqrt[6]{25}&=\sqrt[6]{5^{2}}=\sqrt[3]{5} \\\\
\sqrt[12]{6^{3}}&=\sqrt[4]{6}
\end{aligned}$
Example 9
Simplify the followings.
(a) $\sqrt{27}$ (b) $\sqrt[3] { 16 }$ (c) $\sqrt {\sqrt[3] { 128 }}$
(d) $\sqrt[3] {-32}$ (e) $\sqrt{72}$
Example 10
Change the expression with the same radical and Simplify the radicands.
(a) $5a\sqrt[3]{3}$ (b) $\sqrt[3] { 5 }\sqrt{3}$
(c) $\sqrt[4]{2} \sqrt[3] { 3 }$ (d) $\sqrt{2x}\sqrt[3] {3y}$
2.3 Operations with Radicals
Order တူသော radical နှစ်ခုကိုမြှောက်ရန် Rule 2 ကိုတိုက်ရိုက်အသုံးပြုနိုင်သည်။ Order မတူသော radical နှစ်ခုကိုမြှောက်ရာတွင် Rule 5 ကိုသုံး၍ထို radical တို့၏ orderများကို equavilant ဖြစ်အောင်ပြောင်းပြီးမှမြှောက်လဒ်ရှာနိုင်သည်။
Radicand လည်းတူ၊ index လည်းတူသော radical များကို similar radical ဟုခေါ်ပြီးဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိသုံး၍ပေါင်းနိုင်၊နုတ်နိုင်သည်။
Dissimilar radical များကိုဖြေရှင်းရန်ပိုင်းခြေကို rationalize ပြုလုပ်ပြီးမှဖြေရှင်းနိုင်သည်။
ပိုင်းခြေကို၎င်း၏မိတ်ဖက်ကိန်းဖြင့်မြှောက်ခြင်းဖြင့်ရာရှင်နယ်ပြုလုပ်နိုင်သည်။
In rationlizing the denominator, we multliply it by its conjugate. This process is based on the fact that
$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$.
အောက်ပါ factor တို့ကိုလေ့လာကြည့်ပါ။factor တစ်ခုသည်အခြား factor တစ်ခု၏ conjugate ဖြစ်သည်။
(1) $a+\sqrt{b}$ and $a-\sqrt{b}$
(2) $a+b\sqrt{c}$ and $a-b\sqrt{c}$
(3) $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ and $\sqrt{a}-\sqrt{b}$
(4) $a\sqrt{b}+c\sqrt{d}$ and $a\sqrt{b}-c\sqrt{d}$
Example 11
Multliply $\sqrt{6}$ by $\sqrt{15}$ and express in the simplest form.
Example 12
Multliply $\sqrt[3]{12}$ by $\sqrt{10}$.
Example 13
Simplify $\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{8})$.
Example 14
Simplify $\sqrt{200}+\sqrt{50}-\sqrt{18}$.
Example 15
Simplify $\sqrt{24}$+$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$-$\sqrt[3]{\dfrac{2}{9}}$.
Example 16
Simplify $\dfrac{\sqrt{2}-3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}$.
2.4 Exponential Equations
The exponential equation is an equation in which a variable occurs in the exponent.
ထပ်ညွှန်းတွင်ကိန်းရှင်တစ်ခုပါဝင်သောညီမျှခြင်းကို exponential equation ဟုခေါ်သည်။
Some exponential equations: $3^{x}=81$ and $2^{5x-1}=32$
If $x^{n}=x^{m}$, then $n=m$ for $x\neq 0$ and $x\neq 1$.
Exponential Equation များကိုဖြေရှင်းရာတွင်
ညီမျှခြင်းနှစ်ဖက်စလုံးရှိကိန်းများကိုအခြေတူကိန်းတစ်ခုတည်းဖြစ်အောင်လုပ်ဆောင်ရမည်။
အခြေကိန်းသည် $0$ မဟုတ်လျှင်၊$1$ မဟုတ်လျှင်ထပ်ညွှန်းချင်းညီ၍မသိကိန်းတန်ဖိုးကိုရှာနိုင်သည်။
Example 17
Solve the equation $2^{3x-1} = 32$.
Example 18
Solve the equation $3^{2x+1}\cdot 27^{x-1} = 81$.
Example 19
Solve the equation $2 \cdot 2^{2x}-7\cdot 2^{2x}-4= 0$.
Problems
Exercise 2.1
Simplify by using the rules of exponents and name the rules used. Evaluate the followings. Simplify. Evaluate the followings. Simplify the followings.
Exercise 2.2
Evaluate the followings. Simplify the following. Simplify the following.
Exercise 2.3
Write the following in radical form. Write the following in fractional exponent form. Change the expression with the same radical and simplify the radicands. Simplify. Rationalize the denominators. Reduce the order as far as possible. Find the simplified forms.
Exercise 2.4
Simplify the following. Rationalize the denominators and simplify. Write as a single fraction.
Exercise 2.5
Solve the following equations.
1. $3^{2 x-3} =27^{2 x}$
2. $5^{x^{2}-9}=1$
3. $5^{x+1} =\dfrac{1}{625}$
4. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} =64$
5. $ 2^{3 x} \cdot 4^{x+1}=128 $
6. $3^{x+1} \cdot 9^{2-x}=\dfrac{1}{27}$
7. $\dfrac{27^{2 x}}{3^{5-x}}= \dfrac{3^{2 x+1}}{9^{x+3}}$
8. $8^{x-1} =\left(\dfrac{1}{32}\right)^{x+1}$
9. $10^{-x} =0.000001$
10. $4^{x}+4^{x+1}=20$
11. $4 \cdot 2^{2 x}+3 \cdot 2^{x}-1=0$
Post a Comment